Умножаем и складываем в уме

Содержание

Приближенное значение

Не так уж и давно, каких-то 50 — 60 лет тому назад, люди довольно легко обходились без калькулятора (их и в природе-то не было) и считали часто «в уме», а в школах преподавали устный счет.

Школяров учили складывать, вычитать, умножать и делить не то что без калькулятора, но даже без бумаги и ручки. Между прочим, умение считать «в уме» штука полезная.

Умножаем и складываем

Вот пример: вы собрались угостить друзей мороженым. Друзей трое и вы четвертый, мороженое стоит 60 рублей, в кармане лежит 98.

Быстро прикинув стоимость четырех порций мороженого (60 х 4 = 240), вы понимаете, что на всех денег у вас не хватит, а лопать одному — значит прослыть жадиной. Лучше купить бутылку газировки — ее проще разделить на всех.

Но это пример простой, а вот задачка посложнее: вы пришли в магазин за учебниками и увидели, что один стоит 98 рублей, второй — 73, третий — 56 и четвертый — 81. Попробуйте быстро сложить 98+73+56+81. Трудно?

Да ничего подобного, это так же просто, как сложить 10+7+6+8 = 31. Вы спросите, почему взяты именно эти — числа? Каждое из них — округленное количество десятков в слагаемых нашего примера.

31 десяток — это число 310 — приближенное значение суммы цен всех учебников. Если у вас есть с собой 310 рублей, то в первом приближении денег на покупку должно хватить.

Теперь вычислим точное значение суммы. Сделать это тоже несложно. Сначала сложим количество десятков во всех слагаемых: 9+7+5+8 = 29, а затем количество единиц: 8+3+6+1=18. Получили один десяток и восемь единиц. Значит, всего десятков — 30 (29+1) и единиц — 8. Искомая сумма — 308.

«Хорошо, — скажете вы, — но где найти учебники по 70 рублей, сейчас они стоят больше сотни! А как складывать трехзначные числа?»

Трехзначные числа

Да точно так же. Можно сложить количество десятков и к ним приписать количество единиц. Пусть надо определить сумму слагаемых 289+55+331+73. Решение таково: 28+5+33+7 = 73 (десятка), 9+5+1+3 = 18 (единиц, или 1 десяток + 8 единиц). Сумма 748.

Наверное, вы догадались, что и значительно большие числа можно складывать «в уме», пользуясь похожим приемом, например для трехзначных чисел брать сумму сотен, десятков и единиц:

343+246+732 = 3+2+7 = 12 (сотен) плюс 4+4+3 = 11 (десятков, или 1 сотня + 1 десяток) плюс 3+6+2 = 11 (единиц, или 1 десяток + 1 единица). Сумма: 13 сотен 2 десятка 1 единица — 1321.

Умножение

Вот несколько простых приемов, которые помогут при умножении. Таблицу умножения, правда, все равно придется выучить, но пользоваться ею будет легче.

Если какое-то число нужно умножить на 5, то в большинстве случаев проще сначала умножить его на 10, а потом разделить пополам.

Например: 384×5 = 1920. Или: (384×10):2 = 3840:2 = 1920. Таким же способом удобно умножать на 25. Сначала умножаем на 100, потом делим на 4 (или последовательно два раза делим на 2).

Если же нужно умножить на 2,5, то умножаем на 10 и делим на 4. Например: 141×2,5 = (141×10):4 = (141х10):4 = 1410:2:2 = 352,5.

Теперь варианты посложнее. Предположим, нужно умножить какое-то число на 8. Опять поможет десятка. Умножим число на 10 и на 2, из первого результата вычтем второй и получим искомое произведение.

Пример: 37х8 = (37×10) — (37×2) = 370 – 74 = 296. Умножать на 9 еще проще, а как — догадайтесь сами.

Умножение на 7 можно представить как умножение на 5 (или на 10, деленное на 2) и на 2, то есть 37х7 = (37х10:2) + (37×2) = 185+74 = 259.

Многим нравится другой способ решения: сначала перемножить количество десятков первого сомножителя на второй, потом проделать то же самое с количеством единиц и найти их сумму.

Например: 37х8 = 30х8 + 7х8 = 240+56 = 296.

А можно ли «в уме» умножать двузначные числа? Конечно, можно. Пусть нужно умножить 67 на 39. Сделаем сначала умножение в общем виде.

Возьмем два двузначных числа ab и cd. В этих числах a и c количество десятков, а b и d — количество единиц. Тогда ab и cd можно записать как (10a+b) и (10c+d). Умножим одно выражение на другое: (10a+b) x (10c+d) = 100ac+10ad+10bc+bd = ac100+(ad+bc) x10+bd.

Иными словами, произведение содержит ac сотен, (ad+bc) десятков и bd единиц. Чему же оно равно?

Начинать удобнее с конца. Посчитаем количество единиц: 7×9 = 63 — это 6 десятков и 3 единицы. Теперь посчитаем десятки: 6х9+7х3 = 54+21 = 75. Но в предыдущем действии мы получили еще 6 десятков. Прибавим их к результату и получим 81 десяток, или 8 сотен и 1 десяток.

Займемся теперь сотнями: 6х3 = 18 сотен. Добавим к ним 8 сотен из предыдущего действия и получим 26 сотен. Теперь запишем результат в привычном виде: 26 сотен 1 десяток 3 единицы, или 2613.

Приближенное значение

Довольно часто знать точное значение искомого числа не очень-то и нужно. Достаточно выяснить его приближенное значение или границы, в которых оно лежит.

В нашем случае произведение должно быть меньше 2800 (ведь 67 чуть меньше 70, 39 чуть меньше 40, а 70×40 = 2800). С другой стороны, искомое число должно быть больше произведения 65х35 (67 больше 65; 39 больше 35).

А как умножить 65 на 35? И это не вызовет больших затруднений, если использовать небольшую хитрость:

65 = 25+40, 35 = 25+10. (25+40)×(25+10) = 25×25+25×10+40×25+40×10 = 625+ +250+1000+400 = 2275. Одним словом, научиться считать «в уме» стоит хотя бы потому, что, во-первых, может пригодиться, а во-вторых, гимнастика для ума всегда на пользу его обладателю.

Кандидат технических наук Зыков Д.