Содержание
История азартных игр
Интересующий нас результат
Открытие Галилея
Закон найденный Бернулли
Закон Бернулли и предсказания
Случайное событие
Вероятность в районе одной миллионной
О художественной правде
Случайные отклонения
Теперь о погоде
Снова о погоде
Простая формула вероятного события
Азартные игры появились на заре человечества. Их история начинается с игральных костей. Изобретение этого источника развлечений, радостей и несчастий приписывается лидийцам, египтянам или грекам в лице Паламеда.
История азартных игр
При раскопках в Египте неоднократно находили игральные кости разной формы — четырехгранные тетраэдры, двенадцатигранные додекаэдры и даже двадцатигранники. Но, разумеется, чаще всего находили кубы.
Главная причина их преимущественного распространения простота изготовления. Удобно и то, что цифры от единицы до шести не слишком малы и не слишком велики, не требуют умственных напряжений при арифметических подсчетах.
Если брошена одна кость, то она с равным успехом, или, как говорят, с равной вероятностью, может выпасть любой из шести цифр вверх. Это очевидно. Но, желая аккуратно пользоваться словами «вероятность события», мы должны отдать себе отчет, о какой группе событий идет речь.
В данном случае группой событий является выпадение единицы, выпадение двойки, выпадение тройки, выпадение четверки, выпадение пятерки, выпадение шестерки. Всего событий в труппе шесть — это полное число событий.
Интересующий нас результат
Следующий вопрос, который надо себе задать, звучит так: сколько, из этих событий дает интересующий нас результат?
Скажем, нас интересует вероятность выпадения тройки, то есть осуществление одного события из группы в шесть событий. Мы говорим, что вероятность выпадения тройки равна 1/6.
А чему равна вероятность появления четной цифры? Очевидно, 3/6 (три благоприятных события делим на общее число событий, равное шести). Чему равна вероятность появления числа, кратного трем? Очевидно, 2/6.
Вероятность вытянуть туза пик из полной колоды карт равна 1/52, вероятность вытянуть какую-либо пику — 13/52= 1/4, какой- либо туз — 4/52 = 1/13. Вероятность вытянуть пиковую фигуру = 3/13 и так далее.
В тех примерах, где вероятность оценивалась дробью с числителем больше единицы, мы пользовались, не оговаривая того, так называемой теоремой сложения вероятностей: если событие подразделяется на независимые частные случаи (в последнем примере этих частных случаев три — пиковый валет, дама пик и король пик), то полная вероятность события складывается из вероятностей частных случаев.
Приведенные примеры совсем просты; есть, конечно, случаи и посложнее. Осложнения главным образом бывают двух типов.
Скажем, вероятность события не очевидна заранее. Пример: в природе встречаются листья растений, закрученные в разные стороны, — левые и правые. Казалось бы, симметрия должна привести к равной вероятности нахождения в природе тех и других.
Но закручивание листьев не бросок кости; оказывается, что для большого числа растений левых листьев в несколько раз больше правых. Второе осложнение заключается в использовании понятия вероятности там, где кажется невозможным рассмотрение интересующего нас события как члена группы родственных событий.
Скажем, можно ли говорить о вероятности встретить на улице своего приятеля и в каком смысле; можно ли говорить о вероятности того, что брак Николая и Светланы будет счастливым и в каком смысле. Ответы на подобные вопросы могут быть даны.
Надо лишь следовать той же идее — вероятность встречи приятелей надо считать вариантом встречи двух незнакомых людей, брак Светланы и Николая можно рассматривать либо как вариант браков схожих молодых людей, либо как вариант поступка Светланы, либо как вариант поступка Николая.
Ничего не поделаешь: для того, чтобы оперировать количественными понятиями, приходится формализовать явление.
Открытие Галилея
Вернемся к игре в кости. Оценка вероятностей при бросании одной кости не ставит перед нами каких-либо сложных задач. Напротив, результат появления какой-то суммы при броске двух или трех костей требует интересных размышлений и притом чрезвычайно типичных для теории вероятностей.
Значительная часть задач этой теории сводится определению вероятности сложного события при заданных вероятностях событий элементарных.
Может показаться сначала, что никаких особо интересных задач при бросании двух трех костей не возникает. К примеру, надо ответить на вопрос: какова вероятность появления двух шестерок?
Вероятность появления каждой из них независимо от другой равна 1/6. При выпадении шестерки на одной кости вторая кость может лечь шестью способами. Значит, вероятность выпадения двух шестерок будет равна произведению 1/6 на 1/6.
Это иллюстрация к так называемой теореме умножения вероятностей. Но вы ошибаетесь, если думаете, что на этом кончаются проблемы.
Где-то в начале 17-го века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Он заметил, играя в три кости, что число 10 появляется как сумма очков на грех костях чаще, чем число девять.
— Как же так, — спрашивал игрок, — ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью:
9 = 1+2+6 = 1+3+5 = 1+4+4= 2+2+5= 2+3+4 = 3+3+3
10 = 1+3+6 = 1+4+5 = 2+2+6 = 2+3+5 = 2+4+4 = 3+3+4
Разбираясь этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач так называемой «комбинаторики», важного инструмента расчетов вероятностей. Итак, в чем же дело? А вот в чем. Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько существует вариантов выпадения костей, приводящих к суммам в девять и десять очков, — вот на какую тонкость необходимо обратить внимание.
Рассмотрим сначала случай, когда на трех костях три разные цифры, скажем, 1, 2 и 6. Этот результат может осуществиться в шести вариантах. Единица на первой кости, двойка на второй и шестерка на третьей или единица на первой, шестерка на второй, двойка на третьей; также возможны два случая, когда двойка покажется на первой кости, еще два, когда на первой кости выпадет тройка.
Иначе обстоит дело, когда сумма представлена таким образом, что два слагаемых одинаковы, например, 1 плюс 4 плюс 4. Один вариант такого разложения появится, если на первой кости покажется единица, на двух других будут четверки. Только один вариант, так как поменять цифры на второй и третьей костях уже нельзя!
Второй вариант возникает, если единичка покажется на второй кости, и последний, если она же появится на третьей кости. Итого, 3 возможности. Наконец, ясно, что если сумма разложена в виде З плюс З плюс З, то на костях такое событие осуществляется единственным способом.
Галилей нашел, что десять осуществляется двадцатью семью способами, а девять — двадцатью пятью:
Галилей нашел, что девять осуществляется двадцатью пятью способами, а десять двадцатью семью способами.
девять десять
1+2+6 (6) 1+3+6 (6)
1+3+5 (6) 1+4+5 (6)
1+4+4 (3) 2+2+6 (3)
2+2+5 (3) 2+3+5 (6)
2+3+4 (6) 2+4+4 (3)
3+3+3 (1) 3+3+4 (3)
Цифры в скобках дают число представлений каждой суммы.
Закон найденный Бернулли
Математика не раз помогала разбираться в интереснейших игровых ситуациях. Тем не менее любители азартных игр большей частью относятся без интереса к вероятностным подсчетам. В известной степени они правы.
Игроки обычно не вспоминают свой прошлый опыт, их занимает результат одного вечера или часа, а то и одного броска кости. Мы же делаем свои выводы, рассматривая длинные — длинные и долгие ряды игр.
Разумеется, игрок торжествует при единичной удаче и посмеивается над математиком, который до игры сообщил, что шансы на выигрыш равны 1/100; напротив, игрок будет в претензии на вычислителя, если проиграет, несмотря на подсчитанную вероятность выигрыша и в девять десятых.
Однако при длительной игре мало-мальски внимательный человек убедится в неукоснительном выполнении законов случая. Равные результаты при равных шансах, или шире, результаты, близко соответствующие вероятности события, наблюдаются тем точнее, чем длиннее серия.
Заслуга открытия этого обстоятельства принадлежит Якобу Бернулли (1654 — 1705), первому члену знаменитой семьи ученых.
Якоб Бернулли строго доказал, что разности отношения удачных бросков к общему числу бросков и теоретического числа вероятности (то есть отклонения от одной второй в случае игры в орлянку или от одной шестой в случае игры в кости и прочие аналогичные отклонения) уменьшаются с возрастанием числа бросков, и — стандартное математическое выражение — вероятность каждого определенного отклонения может быть сделана меньше любого малого наперед заданного числа.
Типичный результат многократного бросания монеты (сделано триста бросков).
Рис 1.
Чтобы оценить количественно возможные расхождения между вероятностным предсказанием и статистикой испытаний, извлечем квадратный корень из общего числа бросков: оказывается, вероятность расхождения, большего, чем этот корень, приблизительно равна одной двадцатой.
Согласно этому правилу невязка теории и опыта может возрастать как квадратный корень из общего числа бросков, однако относительные отклонения должны при этом уменьшаться — обратно пропорционально тому же корню.
Поясним сказанное примером.
10 000 бросков монеты (разумеется, «честной») в среднем должны привести к 5 000 появлений решки. В реальных сериях отклонения свыше 100 случаев (то есть более одного процента) будут встречаться с вероятностью около одной двадцатой: соответственно при 100 000 000 бросков отклонения свыше 10 000 случаев (то есть более 0,01 процента) будут встречаться с той же вероятностью около одной двадцатой и т. д.
Читатель, вероятно, уже догадался, что описанный «закон больших чисел» применим не только к броскам монеты. Можно дополнить догадку замечанием: для событий, вероятность которых отличается от одной второй, рамки допустимых отклонений еще более тесны.
Закон Бернулли и предсказания
Закон Бернулли превращает случайное в необходимое. Там, где счет идет на миллиарды или тем более миллиарды миллиардов событий, вероятностные предсказания становятся достоверными.
Мир, в котором мы живем, построен из мельчайших частичек, которые ведут себя по законам случая. Значит ли это, что мы живем в ужасающе беспорядочном, хаотичном мире? Ничего подобного.
Поскольку вселенная состоит из невообразимо большого числа атомов и так как нас интересуют события, складывающиеся из огромного числа однотипных повторяющихся событий, то именно поэтому в итоге получаются строжайшие законы природы.
Закон Бернулли лежит в основе важного раздела естествознания — статистической физики. Однако понимание вероятностных законов важно и полезно не только тогда, когда случайность выступает лишь в скрытом виде.
В разных областях техники, науки и жизни нам приходится иметь дело с единичными, случайными событиями и с ограниченными сериями случайных событий.
Поговорим сначала об одном случайном событии.
Случайное событие
Мы назовем его случайным в том случае, если не можем его предсказать. Суждение о вероятности этого одного события может быть заимствовано из каких-либо теоретических или эмпирических сведений.
Если, скажем, речь идет о броске монеты, то из соображений симметрии я заключаю, что вероятность выпадения решки должна быть около 1/2. Я могу ошибиться в этой оценке, если монета сделана нечестно.
Разумеется, единичный бросок не поможет мне выяснить, хороша или плоха монета. И опять-таки во всем этом нет никакого противоречия и никакого подкопа под научный метод анализа явлений, под теорию вероятностей.
Понятие вероятности возникает лишь на двух дорогах. Либо симметрия события позволяет нам сделать предсказание о его вероятности, либо длительный опыт приводит нас к заключению о величине вероятности.
К соображениям симметрии надо относиться, естественно, с осторожностью. Можно, скажем, поторопиться и сделать заключение, что появление у молодых родителей мальчика или девочки вполне эквивалентно выпадению герба или решки у хорошей монетки.
Но, оказывается, дело обстоит не так, и вероятность появления на свет мальчика выше, хотя и незначительно. Длительное наблюдение позволяет установить значение вероятности и пользоваться этим числом для предсказания грядущих событий.
— Вот он, порочный круг, — угрюмо заявит любитель парадоксов. — Я определяю вероятность опытным путем, то есть анализом прошлого, и применяю ее к будущему. А откуда я знаю, что эта вероятность не претерпит изменения со временем?
Но подобное возражение можно сделать по отношению к любому индуктивному знанию. Откуда я знаю, что завтра взойдет солнце, откуда я знаю, что мой сосед по дому смертен, откуда я знаю, что на деревьях клена не вырастут яблоки?
Делать возражения научному методу исходя из подобных построений формальной логики совершенно бессмысленно. Человек не может жить, не приняв без доказательства целый ряд посылок, в том числе и уверенность в своем праве продлевать действие законов природы на ближайшее будущее.
Еще одна линия атаки — это стирание грани между маловероятным и невозможным. Несомненно, рассуждая формально, надо сказать, что и самые дикие события осуществимы.
Можно рассчитать вероятность того, что воздух из моей комнаты, где я сейчас пишу эти строки, выйдет в сие мгновение через открытую балконную дверь и статья останется недописанной.
Можно рассчитать вероятность того, что кот Васька отстукает клавиатуре, тыкая в клавиши куда попало своей лапой, всю «Сказку о царе Салтане» … Все это можно, и действительно вероятности будут отличны от события нуля.
Но отнести описанные лишь на этом формальном основании к возможным — это значит попросту играть словами.
События достаточно маловероятные не происходят. Этим законом мы можем и должны руководствоваться и в науке, и в житейской практике. Какова же предельная вероятность событий, которые, не раздумывая, можно считать нереалистическими и не принимать во внимание?
Вероятность в районе одной миллионной
На этот вопрос можно ответить так: эта вероятность лежит где-то в районе одной миллионной. Откуда взята эта цифра?
Число дней, которое отпущено нам господом богом, равно примерно 25 — 30 тысячам. Таким образом, число простых жизненных актов, которые мы повторно совершаем в своей жизни, измеряется величинами порядка миллиона.
Значит, считаться с вероятностью менее одной миллионной — это придавать значение каждому жесту, совершенному за время жизни. Разумеется, иначе я буду оценивать пренебрежимо малую вероятность события, если речь идет не обо мне, не о вас, о каком-либо жителе земного шара.
Поскольку на Земле живет более восьми миллиардов людей, то представляется разумным разделить нашу оценку для одного человека на миллиарды. Цифра 10-15 предложенная Эмилем Борелем, представляется хорошей оценкой вероятности практически невозможных событий в мировом масштабе.
О художественной правде
Автор В. Квашнин в своем письме обсуждает рассказ Ю. Нагибина «Перекур» и пишет следующее:
«… чем глубже вникаешь в судьбу Климова, тем больше тебя охватывает не то что недоумение, а какое-то чувство неловкости, почти осязаемого ощущения неправды».
Что же происходит в рассказе? Сорокапятилетний герой после двадцатилетнего перерыва понял, что у него была лишь одна настоящая любовь.
Хотя любовь была всего лишь каких-то там двадцать лет тому назад, но она вспыхнула, и с соответствующим пожаром в груди Климов едет на поезде на далекий полустанок, где протекал в свое время его юношеский роман.
Приехал, сошел с поезда, зашагал через лес, а Маруся тут как тут. «Надо же было ей так точно рассчитать!» — пишет Квашнин. Автор письма совершенно справедливо говорит: «Когда через двадцать лет герой выходит на полустанке и ровно в этот же час, минуту и секунду здесь же оказывается и героиня, читатель прищуривает глаза: «Хитро придумано!» — и перестает верить многому».
Нет числа подобным примерам, когда авторов обвиняют в художественной неправде. Я же «смягчаю» обвинение и осуждаю авторов за незнание теоремы умножения вероятностей.
Во всех случаях авторы оперируют несколькими маловероятными (но все же возможными) событиями и достигают сногсшибательного эффекта (а вместе с ним и ухода в бесконечность от художественной правды), заставляя эти события пересекаться.
Но ведь и в первоклассной литературе случайности играют важную роль? Несомненно, но это такие случайности, которые могут произойти, это события, вероятности которых вполне значимы. Скажем (об этом вспоминает г-н Квашнин), у Толстого раненый Болконский оказывается в хирургической палате рядом с Курагиным.
Толстому нужно было это столкновение, чтобы показать душевный перелом князя Андрея. Вероятно ли это событие? Без сомнения, офицерских палат вблизи поля боя было немного, а может быть, даже и одна. Вероятность очутиться в одной палате, грубо говоря, равняется вероятности быть раненым в один день.
Если в этот день был ранен один процент офицерского состава, то вероятность попасть в один процент для каждого из них равняется одной сотой, а обоих сразу — одной десятитысячной. Вполне разумная цифра, с которой надо считаться.
Скорее всего, Толстой этих вычислений не производил. Но настоящий художник чувствует правду без расчетов. Таким образом, литераторы могут не рассматривать написанное как инструкцию по нахождению художественной правды.
Хотелось лишь подчеркнуть, что важным элементом художественной правды является приемлемое значение вероятности происходящих событий.
Случайные отклонения
Многим кажутся скучными рисунки, фигурирующие в сочинениях по статистике. Один из таких рисунков нам все-таки придется привести в этой главе. Чтобы сделать его более приемлемым, мы выбрали в качестве статистической величины рост девушек, окончивших школу в прошлом году.
Кривая статистического распределения показывает, сколько представительниц в измеренной группе из 1 375 девушек имеет тот или иной рост.
Р и с. 2.
Кривая, проведенная над девичьими головками, носит название кривой статистического распределения. На горизонтальной оси графика отложены показатели роста, а точки кривой указывают, как много обладательниц соответствующего роста в данной группе из 1 375 девушек.
Как видите, даже этого сравнительно небольшого числа достаточно, чтобы получить плавный, аккуратный и симметричный график.
Кривая, которая получается, когда измерений очень много, носит название кривой нормального распределения, или — по имени ученого, который предложил аналитическую форму для этой кривой, — кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими особенностями. Она похожа на колокол. Спадает одинаково в обе стороны сначала медленно, а потом быстро.
Математику достаточно знать три параметра, чтобы построить эту кривую, а именно высоту ее максимума, среднее значение изучаемой величины (это и есть то место на горизонтальной оси, которое соответствует горбу кривой) и ширину кривой.
Условно ее мерят на полувысоте колокола. Очевидно, что ширина показывает, насколько часто или редко мы встречаемся с отклонениями от среднего. Чем уже колокол, тем менее часты значительные отклонения от среднего.
Нормальная кривая распределения роста девиц, которая была нарисована на предыдущей странице, описывается такими словами.
Высота кривой 200 человек; то есть двести человек имеют средний рост (первый параметр кривой). Заметим тут же, что иметь средний рост в буквальном смысле слова невозможно, можно иметь средний рост с точностью один миллиметр или один сантиметр и т. д.
На нашем графике каждой точке кривой соответствует группа девушек, рост которых лежит в пределах сантиметра близ указанного (по полсантиметра в обе стороны от указанной цифры).
Средняя высота девушек, как мы видим по диаграмме, равна 158 см — это второй параметр. Третьим параметром является ширина колокола, равная в этом случае 15 см.
Знание ширины кривой позволяет сразу же оценить, с какими отклонениями от среднего мы можем встретиться. Я уже сказал, что нормальная кривая совершенно универсальна, относится к любым событиям. Поэтому, смотря на тот же рисунок, можно делать общие заключения, справедливые для любых нормальных распределений.
Наша кривая сходит на нет близ отметок слишком низкого (ниже 130 сантиметров) и слишком высокого роста — выше 180 сантиметров. Это, разумеется, не означает, что цифры большего или меньшего роста совсем уж нереальны: на баскетбольной площадке встречаются очень высокие девушки.
И тем не менее можно смело брать на вооружение правило: отклонения от среднего, большие трех полуширин гауссианы, встречаются очень редко — с вероятностью около 0,2 %.
Будучи уверенными в том, что случайные явления, распределенные около среднего параметра, должны приводить к кривой нормального распределения, мы можем использовать этот закон для обнаружения незаметного внедрения в случайный ход событий какого-то закономерного фактора.
Вот известный исторический пример. Для всей Франции в течение долгого времени число ежегодно рождавшихся мальчиков относилось к числу девочек, как 22/21. Иными словами, нормальная кривая для этого отношения, построенная по месяцам за много лет, имеет максимум при 22/21.
Рассматривая записи рождений мальчиков и девочек в Париже (собранные за 39 лет), Лаплас нашел, что максимум кривой лежит при отношении 26/25. Используя теорию нормальной кривой, можно убедиться в том, что это отклонение — различие в этих дробях — не может быть объяснено случаем.
Если так, то отличие парижской пропорции от ее значения для всей страны должно иметь реальное объяснение. «Когда я стал размышлять об этом, — пишет Лаплас, — то мне показалось, что замеченная разница зависит от того, что родители из деревни и провинции оставляют при себе мальчиков, а в приют для подкидышей отправляют девочек».
Лаплас не поленился рассмотреть списки этих приютов и убедился в справедливости своего рассуждения. Знание среднего значения случайной величины и ширины кривой нормального распределения позволяет уверенно отделить возможное от невозможного.
В технике беспорядочные колебания случайной величины около ее среднего значения называют «шумом». Такой шум вы слышите, например, когда снимаете телефонную трубку или, когда включаете радиоприемник, ожидая полночные удары часового колокола Спасской башни.
Если шум записать на телевизионном экране, то возникает беспорядочная зигзагообразная кривая. Нетрудно ограничить «график шума» двумя горизонтальными линиями, так сказать, вписать весь шум между нулем и некоторым максимумом. Что же это за верхний предел шума?
Чтобы оценить его, введем сначала понятие среднего уровня шума: просматривая все более пространные участки кривой, будем намечать горизонтальную прямую, площадь под которой равнялась бы площади под кривой шума на данном отрезке графика.
Сигнал ядерного магнитного резонанса на фоне так называемого «белого шума». Шум создается флуктуациями токов в сложной электронной схеме, регистрирующей резонанс.
Р и с. З.
Чем шире просмотренный участок, тем точнее будет определяться средний уровень (на рисунке он отмечен пунктиром, проведенным на высоте 0,8), и тем увереннее будет подтверждаться закономерность, бросающаяся в глаза уже при первом взгляде на кривую: верхний предел превышает средний уровень примерно в четыре раза.
Это вполне объяснимо: колокол гауссовой кривой обрывается исключительно резко, несмотря на то, что с точки зрения формальной математики гауссова кривая продолжается в бесконечность.
Маловероятное становится невозможным, и всякий заметный выступ графика над граничной горизонталью — это уже не шум, это сигнал.
Кривая гауссова распределения учит нас, на что надо и на что не надо обращать внимание, когда речь идет о случайной величине. Отклонения, не превышающие четырехкратного значения среднего отклонения, являются нормой; они не заслуживают ни особого внимания, ни объяснения.
Теперь о погоде
Вряд ли есть радиопередача, которая пользуется большей популярностью, чем сообщение о погоде. Хорошая погода для нормального, здорового человека — это залог хорошего настроения. План ближайшего дня в какой-то мере зависит от погоды, не говоря уже о планах отпуска.
Мы радуемся, когда прогноз погоды удачен, и негодуем, когда он не сбывается.
Можно встречать Новый год в Сухуми или в Гаграх. В специальной таблице, справочника по климату, можно найти средний из абсолютных максимумов температуры. Это вот что такое.
Каждый год отмечается максимальная температура января, февраля и т. д. Среднее, которое я нашел в таблицах, было выведено на основании весьма длительных наблюдений — чуть ли не за 100 лет.
Для января средний абсолютный максимум оказался равен 18℃. Восемнадцать градусов в тени! Этого совершенно достаточно, чтобы с полным наслаждением загорать. Значит, берем отпуск в январе. Но, скажет внимательный читатель, знание одного лишь среднего значения совершенно недостаточно для того, чтобы судить о вероятности события.
Ведь нормальная кривая может быть очень плоской, колокол может быть невысоким, и тогда вероятность среднего будет невелика. Правильно. Цифра 18 еще сомнительный залог блаженства.
Продолжаем листать справочник. Другая таблица дает значение среднего отклонения средней максимальной температуры от многолетнего среднего. Это два градуса. Как получены эти два градуса?
Сначала вычислена средняя максимальная температура января, а затем для каждого года абсолютная разность (абсолютная, то есть безотносительно меньше или больше средней температуры данного года) максимальной температуры января данного года и средней максимальной температуры.
Затем все эти разности складываются и делятся на число лет, то есть число разностей, вошедших в расчет.
Ну что же, теперь картина стала яснее. Можно рассчитывать достаточно смело на то, что будут дни, когда температура будет лежать в пределах 16 — 20 градусов. Ну, а большие отклонения от 18℃?
Если температура не заберется выше 14 ℃ (отклонение в два раза больше среднего), то уже можно считать себя несчастливцем. Если же за месяц пребывания в Сухуми термометр не подымется выше 12 градусов, то это уже редкостное невезение.
Старожилы скажут, что такого они не помнят. На этом вроде бы можно было закончить свои метеорологические исследования. Но рассуждения насчет вероятности отклонений справедливы в том случае, если распределение температуры подчиняется нормальному гауссову закону. Так ли это? Посмотрим.
Составители справочника предусмотрели наличие любопытных потребителей климатических таблиц — многолетнюю среднюю кривую распределения максимальных температур января.
Итак, ниже нуля температура в январе не наблюдалась никогда, в среднем 2,2 дня в январе имеют температуру между 0℃ и 5℃. Можно сказать и так: вероятность температуры между нулем и пятью градусами в январе месяце в городе Сухуми равняется 2,2/З1, то есть 0,07 (шанс — семь процентов).
Температура семь между 5 и 10 градусами наблюдалась в среднем в течение 11,3 дня января, между 10 и 15 градусами — 12,4 дня, между 20 — 25 градусами — 0,4 дня. График показывает, все в порядке, нормальная колоколообразная кривая.
Дни с температурой выше 10 градусов (это в то время, когда в Москве морозы и снежные заносы), таких дней в среднем за месяц будет 17,5, то есть больше половины. Итак, вероятность хорошей погоды — одна вторая. Орел или решка? Можно рискнуть!
Снова о погоде
«Это ни на что не похоже», — сказала она тоскливо, — прошел весь отпуск. Дождь, опять дождь, дождь, не переставая. Сколько можно? А еще говорят, что этот месяц обычно не очень дождливый… Слушай, давай уедем, черт с ними, с путевками».
«Не угадаешь», — сказал он со вздохом. — Уедешь — и как раз дожди кончатся. Хоть бы по науке решить. Вычислить вероятность продолжения дождей и решить».
Честно говоря, я не решился бы дать совет этой паре. Но все же… Если слушаться вероятностей всегда, то, подводя итоги, придешь к утешительному выводу, что расчеты помогли.
Простая формула вероятного события
Существует донельзя простая формула, опубликованная впервые английским математиком Томасом Байесом в 1763 году (опубликована посмертно). Томас Байес (Thomas Bayes, 1702 — 1761 гг.) ответил именно на этот вопрос, который интересовал бедную пару, попавшую в дом отдыха в период дождей: если некое событие произошло столько-то раз, то какова вероятность, что оно произойдет и в следующий раз?
Формула, как я уже сказал, очень простая, и ее можно сообщить читателю, даже не прибегая к алгебраическим символам, навевающим на некоторых лиц страх или скуку.
Вероятность равна дроби, числитель которой равен числу происшедших событий плюс единица, а знаменатель равен этому же числу плюс два.
Значит, если дождь идет один день, то вероятность, что он будет идти завтра, равна двум третям, если дождь идет два дня, то назавтра вы можете ждать такой же погоды с вероятностью три четверти, три дня — четыре пятых… восемь дней — девять десятых.
От теории — к практике.
На основании многолетних наблюдений брюссельских метеорологов установлено, что если дождь идет в Брюсселе один день, то вероятность того, что он будет идти и завтра, равняется 0,63; если дождь идет два дня, его вероятность назавтра равна 0,68, три дня — 0,70, 5 дней — 0,73.
Согласно формуле Байеса, мы должны были бы иметь такие цифры: 0,66, 0,75, 0,80 и 0,86. Итак, формула Байеса несколько пессимистична. Реальность окрашена в более розовые тона.
Формула Байеса вызвала в свое время резкую критику. Строится критика, например, так.
Я два раза набирал 01, вызывал пожарную команду, и она приезжала, значит, если я буду вызывать ее третий раз, то она прибудет тушить пожар с вероятностью в семьдесят пять процентов. Глупо ведь? Конечно, глупо.
Но при чем здесь формула Байеса? Прочитав внимательно работу этого превосходного математика, мы увидим, что формула выведена в предположении, что о вероятности единичного события нам неизвестно ровно ничего, то есть что эта вероятность может быть любой — от нуля до единицы.
Итак, формулу Байеса следует применять в том случае, когда мы ровно ничего не знаем о единичном событии. Если в футбол играет команда «Спартак» с командой, скажем, Текстильного института и если, придя с запозданием к началу состязания, мы узнаем, что счет пять к одному в пользу института, то все же мы не поставим и гривенника против рубля за команду студентов.
Для предсказания исхода состязания формула, о которой идет речь, в этом случае бесполезна. Формула, повторяем, работает лишь тогда, когда нам ничего не известно о единичном событии, в данной ситуации о вероятностях выигрыша и проигрыша команд — участниц состязания.
Лишь в том случае, если я не знаю, кто играет, и не всматриваюсь в технику игры, по результату десять к одному я имею право сделать заключение: вероятность того, что следующее очко заработает ведущая команда, равна шести восьмым.
Мы так много говорили о формуле Бейеса, что у читателя могло сложиться впечатление, будто речь шла о какой-то фундаментальной формуле теории вероятностей. Это не совсем так.
В теории под «формулой Бейеса» понимают математическое выражение более общей закономерности, также найденной Томасом Бейесом. Ее часто называют «формулой вероятностей гипотез»: она позволяет оценить на основе проделанного опыта вероятности каждого из путей, которым могло осуществиться происшедшее событие.
Мы же рассказали о некотором следствии из канонической формулы Бейеса — следствии довольно частном, не очень-то прямом, но весьма ярком.
В этой статье мы привели несколько примеров того, как проявляются законы случая. В сочетании этих двух слов кроется лишь видимое противоречие. Конечно, достоверное суждение об одной случайности — вещь невозможная. Но мы живем в мире повторяющихся событий.
Каждое мгновение сталкиваются и разлетаются в стороны миллиарды молекул, рождаются и умирают цветы, сходятся в одной клетке отцовские и материнские гены, идет жизнь миллиардов людей, подчиненная правилам и канонам.
Случайности, просуммированные в миллиардах проявлений, приводят к строгим законам термодинамики, генетики, общественного развития.
Законы случая принадлежат к основам науки, и было бы очень неплохо, если бы они стали предметом внимательного изучения в школе.
Профессор Китайгородский А.
Видео: Загадка, чей кот Мурзик?
Окраска цветов — зачем цветам яркая и красивая окраска
Зевота – исследование зевоты
Почерк – мужчина или женщина
